Normalisation I

Dépendances Fonctionnelles, Clés, Fermetures, Couvertures irredondantes.

Équipe BD

Université Paris-Cité

2025-12-01

Introduction

Conception du modèle relationnel

Une première approche pour concevoir un modèle relationnel (l’ensemble des schémas de tables d’une bd) consiste à :

  • Identifier les attributs d’intérêt

  • Répartir les attributs dans plusieurs relations

  • Comment savoir si le modèle relationnel est bon ?
  • Si ce n’est pas le cas : y a-t-il des techniques pour le transformer en un bon modèle?

Qualité d’un schéma

Quelles sont de bonnes propriétés d’un schéma ?

Exemple

Attributs relatifs à des vendeurs, produits et livraisons

Attribut Usage
V# numéro du vendeur
Vnom nom du vendeur
Vville ville du vendeur
P# numéro du produit
Pnom nom du produit
Pville ville où le produit est stocké
Qte quantité de produit livrée au vendeur

Qualité d’un schéma

Un schéma relationnel possible : une seule relation R avec tous les attributs

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

  • C’est une mauvaise modélisation.

  • Pourquoi ?

Qualité d’un schéma relationnel

Redondance

V# Vnom Vville P# Pnom Pville Qte
3 MagicV Paris … … … …
3 MagicV Paris … … … …
2 IdealB Lyon … … … …
2 IdealB Lyon … … … …

Vnom et Vville sont déterminés parV# :

si deux livraisons ont le même V#, elles ont aussi le même Vville et le même Vnom

  • Anomalies de mise à jour

Vnom ou Vville pourrait être mis à jour dans une livraison et pas dans une autre, ce qui donnerait une incohérence. Les mesures pour éviter cela rendent la mise à jour est coûteuse

  • Anomalies d’insertion

On ne peut pas enregistrer un vendeur s’il ne reçoit pas de livraison

  • Anomalies de suppression

Si on supprime toutes les livraisons à un vendeur, on perd toute l’information sur ce vendeur

Qualité d’un schéma relationnel

  • Un bon schéma
Vendeur(V#, Vnom, Vville)    Clef : V#
Produit(P#, Pnom, Pville)    Clef : P#
Livraison(V#, P#, Qte)       Clef : (V#,P#)
  • Plus d’anomalie ! Comment y arriver?

La théorie de la normalisation des BD relationnelles fournit

  • la notion de forme normale : propriétés d’un schéma qui garantissent l’absence de redondance et des anomalies qui en dérivent. Ces propriétés sont définies par rapport à un ensemble de contraintes

  • des techniques de normalisation : passage d’un schéma arbitraire (mauvais) à un schéma en forme normale (obtenu typiquement par décomposition)

Dépendances fonctionnelles

Exemple

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pville, Qte)

Un ensemble de dépendances fonctionnelles qu’on peut raisonnablement supposer :

V# ⟶ Vnom Vville
P# ⟶ Pnom Pville
V# P# ⟶ Qte
  • Cela signifie que l’on ne considère que des relations R qui satisfont :
  • si 2 tuples de R ont la même valeur de V# alors ils ont la même valeur de Vnom et Vville
  • si 2 tuples de R ont la même valeur de P# alors ils ont la même valeur de Pnom et Pville
  • …

DF exemple (suite)

V# Vnom Vville P# Pnom Pville Qte
3 MagicV Paris 322 manteau Lille 2
1 StarV Rome 546 veste Rome 1
3 MagicV Paris 322 manteau Lille 5
2 IdealB Lyon 145 jupe Paris 7
2 IdealB Lyon 234 jupe Lille 1

  • R satisfait V# ⟶ Vnom Vville et P# ⟶ Pnom Pville

  • R ne respecte pas V# P# ⟶ Qte

Autre Exemple

Schéma Films(titre, année, durée, genre, producteur, acteur)

titre année durée genre producteur acteur
Star Wars 1977 124 SciFi Fox Carrie Fisher
Star Wars 1977 124 SciFi Fox Mark Hamill
Star Wars 1977 124 SciFi Fox Harrison Ford
Gone With The Wind 1939 231 drame MGM Vivien Leigh
Wayne’s World 1992 95 comédie Paramount Dana Carvey
Wayne’s World 1992 95 comédie Paramount Mike Meyers
…
  • On sait qu’il n’y a pas 2 films de même nom qui sortent la même année. On a donc la dépendance suivante

titre, année ⟶ durée, genre, producteur

  • La DF titre, année ⟶ acteur

est certainement fausse puisqu’un film fait intervenir en général plusieurs acteurs

  • A-t-on la DF titre, acteur ⟶ année, durée, genre, producteur ?

Définition d’une dépendance fonctionnelle

Définition : Dépendance fonctionnelle

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma de relation (\(\mathcal{A}\) est un ensemble d’attributs)

Une dépendance fonctionnelle sur \(\mathcal{A}\) est une expression de la forme

\[X \to Y\]

où \(X \subseteq \mathcal{A}\) et \(Y \subseteq \mathcal{A}\)

Une relation \(R\) de schéma \(\mathcal{A}\) satisfait \(X \to Y\) si pour tous tuples \(s,t ∈ R\) on a

\[\bigl(∀ A∈ X\ s.A=t.A\bigr) ⟹ \bigl(\forall A∈ Y\ s.A=t.A\bigr)\]

(si \(s\) et \(t\) coïncident sur \(X\) alors \(s\) et \(t\) coïncident sur \(Y\))

Une relation \(R\), de schéma \(\mathcal{A}\), satisfait un ensemble \(\Sigma\) de DF si \(R\) satisfait chaque DF de \(\Sigma\)

Exemples

Dans la base Pagila, relation Actor :

  • Actor_id ⟶ last_name, first_name

  • car Actor_id est une clé…

Dépendance fonctionnelle élémentaire

Définition : dépendance élémentaire

\(A_1,...,A_p \to Y\) est une dépendance élémentaire si pour tout \(j\leqslant p\) : \(A_1,...,A_{j-1}, A_{j+1},..., A_p\not\to Y\)

  • No_insee ⟶ sexe, mois_naiss, jour_naiss est élémentaire.

  • No_insee, jour_naiss ⟶ sexe, mois_naiss, ville_naiss n’est pas élémentaire …

Note

No_insee suffit

Dépendance fonctionnelle triviale

Une DF triviale est une DF satisfaite par toute relation.

Définition (dépendance triviale)

Soient \(X,Y⊂ \mathcal{A}\)

\(X\to Y\) est une dépendance triviale si \(Y \subset X\)

Exemple

No_insee \(\to\) No_insee est triviale

Implication entre DF

Définition

Un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une autre DF \(X\to Y\) si toute relation qui satisfait \(\Sigma\) satisfait également \(X\to Y\).

Notation pour \(\Sigma\) implique \(X\to Y\) : \(\quad \quad\Sigma \models X \to Y\)

Exemple I

\(A\to B\) et \(B\to C\) impliquent \(A\to C\).

Exemple II

\(A\to C\), \(BC\to D\), \(AD\to E\) impliquent \(AB\to E\).

Règles d’inférence

Les règles d’inférence permettent de calculer toutes les DF impliquées par un ensemble donné de DF.

Règles d’Armstrong

  • Transitivité : \(\{ X\to Y, Y\to Z\} \models X\to Z\)

  • Augmentation : \(X\to Y \models \{X,Z\} \to \{Y,Z\}\)

  • Réflexivité : \(\varnothing \models \{X,Y\}\to X\) (DF triviale)

Vérification de la transitivité

On se rammène à vérifier une règle du calcul propositionnel :
si p ⇒ q et q ⇒ r alors p ⇒ r

Soit une instance \(\mathcal{R}\) telle que :
\[\forall s,t \in \mathcal{R} \qquad \begin{cases} \text{si } s.X =t.X & \text{alors } s.Y= t.Y \\ \text{si } s.Y =t.Y & \text{alors } s.Z= t.Z \end{cases} \] On a alors aussi \(\forall s,t \in \mathcal{R}\), si \(s.X =t.X\) alors \(s.Z= t.Z\)

Calcul sur les DF

Théorème

\(\Sigma \models X\to Y\)

si et seulement si

\(X\to Y\) peut-être dérivée de \(\Sigma\) par applications successives des trois règles d’Armstrong.

Note

Des 3 règles d’Armstrong, on déduit d’autres règles :

  • Union : \(\{X\to Y, X\to Z\} \models X\to \{Y,Z\}\)

  • Séparation : \(X\to \{Y,Z\} \models X\to Y\)

  • …

Exemple

Soient \(\mathcal{A}\) un schéma de relation ( \(\mathcal{A}\) est un ensemble d’attributs)

On considère l’ensemble de DF \(\Sigma=\{A\to B, B\to C\}\)

  • \(\Sigma\) implique \(A\to B\), \(B\to C\), \(A\to C\), \(AB\to C\), …
  • mais aussi les DF triviales \(A\to A\), \(AB\to A\), …

Ensembles de DF équivalents

Définition

Soit \(\Sigma\) et \(\Sigma'\) deux ensemble de DF sur un schéma \(\mathcal{A}\)

\(\Sigma\) est équivalent à \(\Sigma'\)

ssi

\(\Sigma\models\Sigma'\) et \(\Sigma'\models\Sigma\)

Exemples simples :

  • \(\{X\to A_1,...,A_n\}\) est équivalent à \(\{X\to A_1, ..., X\to A_n\}\)

  • \(XY\to YZ\) est équivalent à \(XY\to Z\)

Clés et sur-clés

Définitions

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma et \(\Sigma\) une ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\)

Définition : sur-clé

Un ensemble d’attributs \(X\) est une sur-clé (ou super-clé) si \(\Sigma \models X \to \mathcal{A}\)

c-à-d si \(X\) détermine tous les attributs de \(\mathcal{A}\).

Définition : clé

Un ensemble d’attributs \(X\) est une clé si \(X\) est une sur-clé et si tout sous-ensemble \(Y\subset X\) tel que \(Y\not=X\) n’est pas une sur-clé.

Autrement dit, \(X\) est une clé si \(X\) est une sur-clé minimale au sens de l’inclusion.

Exemple

\(R(A,B,C) \qquad \Sigma = \{A\to B, B\to C\}\)

Sur-clé : \(A\), \(AB\), \(AC\), \(ABC\)

Clé : \(A\) (la seule)

Fermeture d’un ensemble d’attributs

Question principale

  • Comment vérifier si un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une DF \(X\to Y\) ?
  • Par les équivalences présentées précédemment, la question se ramène à :

Comment vérifier si un ensemble \(\Sigma\) de DF implique une DF \(X\to A\) où \(A\) est un attribut ?

Fermeture d’un ensemble d’attributs

Soit \(X \subset\mathcal{A}\) un sous-ensemble d’attributs et \(\Sigma\) un ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\)

Définition

La fermeture de \(X\) par rapport à \(\Sigma\) est

\[X^+=\{ A\in\mathcal{A} \mid \Sigma\models X\to A \}\]

Exemple de fermeture

  • \(R(ABCDE)\)
  • \(\Sigma=\{AB\to C, C\to D, E\to D\}\)
  • \(\{A,B\}^+=\{A,B,C,D\}\)

Algorithme de calcul d’une fermeture

L’algorithme retourne \(X^+\) relativement à un ensemble de DF \(\Sigma\).

fonction fermeture(X, Σ)
   X⁺ :=  X
   while (exists Y → Z in Σ with Y ⊂ X⁺ and Z ⊄ X⁺)
      X⁺ := X⁺ ⋃ Z
   return X⁺

Exemple de calcul de fermeture

\(\mathcal{A}=\{ABCDEF\}\), \(\Sigma=\{A\to C, BC\to D, AD\to E\}\), \(X=\{A,B\}\)

  • \(X_c=\{A,B\}\)

  • \(A\to C\) donc on obtient \(X_c=\{A,B,C\}\)

  • \(BC\to D\) donc on obtient \(X_c=\{A,B,C,D\}\)

  • \(AD\to E\) donc on obtient \(X_c=\{A,B,C,D, E\}\)

  • On obtient \(X^+=\{A,B,C,D, E\}\)

Terminaison de l’algorithme

\(X^c\) grandit à chaque itération

Comme \(\mathcal{A}\) est fini, l’algorithme se termine en au plus \(|\mathcal{A}|\) itérations

Correction de l’algorithme de fermeture

  • L’algorithme calcule uniquement des attributs dans la fermeture car on a toujours \(X^c \subset X^+\) (récurrence sur le nombre d’itérations de la boucle while).

  • L’algorithme calcule tous les attributs dans la fermeture: \(X_c=X^+\) quand l’algorithme se termine.

Calcul de la fermeture transitive : exemple

Soit \(R\) d’ensemble d’attributs

\(\mathcal{A} =\{A,B,C,D,E,F,G\}\)

Soit \(X=\{B,D\} \subset \mathcal{A}\)

Et \(\Sigma\) l’ensemble de dépendances fonctionnelles ci-contre

\(A,B \to C\) \(C \to A\) \(B,C \to D\) \(A,C,D \to B\) \(F\to A,C\) \(D \to E,G\) \(B,E \to C\) \(C,G \to B,D\) \(C,E \to A,G\)

Montrer que \(X^+=\{A,B,C,D,E,G\}\)

Donner une clé de \(R\) : par exemple \(\{A,B,F\}\), \(\{E,F\}\), \(\{F,G\}\). Il n’y a pas unicité.

Fermetures et clés

Propriété

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma, \(X \subset \mathcal{A}\) est une clé de \(\mathcal{A}\) si et seulement si

  • \(X^+ = \mathcal{A}\),
  • \(\forall \ Y \subsetneqq X\), \(\quad Y^+ \subsetneqq X\)

où \(\subsetneqq\) signifie “strictement inclus”.

Fermetures et implications de DF

Propriété

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma, X,Y des parties de \(\mathcal{A}\), \(\Sigma\) un ensemble de DF sur \(\mathcal{A}\).

  • \(\Sigma \models X\to Y \quad\) ssi \(\quad Y \subset X^+\)

Fermetures et équivalences de DF

Propriété

Soit \(\mathcal{A}\) un schéma, \(\Sigma_1\) et \(\Sigma_2\) deux ensembles de DF sur \(\mathcal{A}\).

\(\Sigma_1\) et \(\Sigma_2\) sont équivalents si et seulement si \(\quad \forall\ X \subset \mathcal{A},\ \ X^+_{\Sigma_1} = X^+_{\Sigma_2}\).

où \(X^+_{\Sigma_1}\) et \(X^+_{\Sigma_2}\) sont les fermetures transitives de \(X\) respectivement selon \(\Sigma_1\) et \(\Sigma_2\).

justification

Cette propriété dit que \(\Sigma_1\) et \(\Sigma_2\) sont équivalents si, pour tout ensemble d’attributs \(X\) , les ensembles \(X^+\) de tous les attributs déterminés par \(X\) sont identiques selon \(\Sigma_1\) et selon \(\Sigma_2\).

Couverture irredondante d’un ensemble de DF

Définition de la couverture irredondante d’un ensemble de DFs

Définition

Soit \(\Sigma\) un ensemble de DF, une couverture irredondante (ou minimale) de \(\Sigma\) est un ensemble de DF \(\Sigma'\) qui vérifie :

  • Chaque DF de \(\Sigma'\) est de la forme \(X → a\), où \(a\) est un attribut,

  • Chaque DF de \(\Sigma'\) est élémentaire, c.a.d. $∀ (X → a) ∈ Σ’,  ∀ Y ⫋ X,  Σ’ ⊭ Y → a $.

  • \(\Sigma'\) et \(\Sigma\) sont équivalents

  • Aucun sous-ensemble strict de \(\Sigma'\) n’implique \(\Sigma\).

Note

Dans une couverture irredondante, toutes des DFs sont nécessaires, chaque DF est élémentaire et une DF avec plusieurs attributs à droite est décomposée en autant de DF avec un seul attribut à droite.

  • pas d’unicité.
  • minimise la compléxité des algorithmes.
  • utile pour la décomposition FN3.

Algorithme de construction d’une couverture irredondante

fonction min_cover(Σ)
   Σ' := ∅ 
   for (X → Y) ∈ Σ    # sélection des DF non redondantes
      for y ∈ Y
         if not (Σ' ⊨ X → y)
            Σ':= Σ' ⋃ {X → y}
   go = True
   while go    # élimination d'attributs pour obtenir des DF élémentaires 
      go := False
      for (X → y) ∈ Σ'
         for x ∈ X
            # si on peut retirer x de X en conservant des DF équivalentes
            if Σ' ⊨ (X\{x}) → y
               # remplacer la DF X → y par (X\{x}) → y dans Σ'
               Σ' := (Σ'\{X → y}) ⋃ {(X\{x}) → y}
               go := True
   return Σ'

Fin

Dépendances Fonctionnelles, Clés, Fermetures, Couvertures irredondantes.