Normalisation II : Décompositions SPD, SPI, FN3 et FNBC

Décompositions, Pertes de DF, Pertes d’informations, Décompositions FN3, Décompositions FNBC.

Équipe BD

2025-12-08

Décomposition d’une relation

Idée

Dans un système de BDD relationnelles, les données sont représentées par des tuples qui décrivent des relations. Lorsqu’on définit des tables dans une base de données, on décompose ces relations en plusieurs relations $R_1$, $R_2$, $\dots$, les tables de la BDD.

Mais on ne peut pas décomposer arbitrairement. Toutes les décompositions ne sont pas pertinentes.

Conditions pour une décomposition pertinente :

Décomposition sans perte de dépendance fonctionnelle.
Décomposition sans perte d’information.
Décomposition qui minimise les redondances : notions de Forme Normale.

Décomposition

Définition

Soit $\mathcal{A}$ un schéma de relation, on dit que $\left\{\mathcal{A}_1,\dots ,\mathcal{A}_k\right\}$ est une décomposition de $\mathcal{A}$ si et seulement si,

pour tout $i$, $\mathcal{A}_i \not=\emptyset$,
${\displaystyle \bigcup_{i=1}^k \mathcal{A}_i = \mathcal{A}}$

Note

Une décomposition n’est pas une partition. On n’impose pas que les $\mathcal{A}_i$ soient deux à deux disjoints. Comme nous le verrons, ils ne doivent pas l’être, sinon, il n’y a plus de jointure possible.

Exemple de décomposition I

Vendeur(V#, Vnom, Vville)
Produit(P#, Pnom, Pprix)
Livraison(V#, P#, Qte)

est une décomposition de la relation

R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pprix, Qte)

Perte de dépendance fonctionnelle

Projection d’un ensemble de DF

Définition

Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}_1$ deux shémas tels que $\mathcal{A}_1 \subset \mathcal{A}$, et $\Sigma$ un ensemble de dépendances.

On appelle projection de $\Sigma$ sur $\mathcal{A}_1$ et on note $\pi_{\mathcal{A}_1}(\Sigma)$ l’ensemble

\[\pi_{\mathcal{A}_1}(\Sigma)=\left\{ X\to Y \mid \Sigma\models X\to Y \text{ et } X,Y\subset \mathcal{A}_1\right\}\]

Autrement dit, $\pi_{\mathcal{A}_1}(\Sigma)$ est l’ensemble des dépendances impliquées par $\Sigma$ qui sont locales à $\mathcal{A}_1$.

Exemple

${\mathcal{A}}=\left\{A,B,C\right\}$ et $\Sigma=\left\{A\to B, B\to C, C\to A\right\}$
$\pi^{}_{\left\{A,B\right\}}(\Sigma)$ est équivalent à $\left\{A\to B, B\to A\right\}$

Fermeture et projection de DF

Propriété immédiate

Si $X$ et $Y$ sont des parties de ${\mathcal{A}}_1$, on a l’équivalence \[X\to Y \in \pi_{{\mathcal{A}}_1}(\Sigma) \iff Y\subset\left\{X\right\}^+\]

C’est une traduction de la définition.

Algorithme de calcul de $\pi_{{\mathcal{A}}_1}(\Sigma)$

Cet algorithme utilise la propriété précédente pour calculer un ensemble de DF équivalent à $\pi_{\mathcal{A}_1}(\Sigma)$

fonction projection(A1, Σ)
   P := ∅
   for X ⊂ A1, X ≠ ∅, X ≠ A1
      # Y = {attributs de A1 déterminés par X}
      Y := X⁺ ∩ A1  
      if Y ⊄ X   # si X → Y n'est pas triviale
         # ajout de la DF X → Y\X
         P := P ⋃ { X → Y\X }
   return P

Très coûteux !

Le nombre de sous-ensembles $X$ considérés est $2^{\#{\mathcal{A}}_1}-2$.
$P$ n’est pas du tout irredondant.

Exemples

${\mathcal{A}}=\left\{A,B,C,D,E\right\}$ et $\Sigma=\left\{A\to C, BC\to D, AD\to E\right\}$

$\pi_{\{AC\}}(\Sigma)$ ?
- on initialise $P=\emptyset$ puis on calcule
- $\left\{A\right\}^+=\left\{A,C\right\}$ donc $P=\left\{A\to C\right\}$ puis
- $\left\{C\right\}^+=\left\{C\right\}$ donc $P$ inchangé.
- L’algorithme se termine avec $P=\left\{A\to C\right\}$
$\pi_{ABD}(\Sigma)$ ?
- $\left\{A\right\}^+=\left\{A,C\right\}$, $P$ vide
- $\left\{B\right\}^+=\left\{B\right\}$, $P$ vide
- $\left\{D\right\}^+=\left\{D\right\}$, $P$ vide
- $\left\{A,B\right\}^+=\left\{A,B,C,D,E\right\}$, $P=\left\{AB\to D\right\}$
- $\left\{A,D\right\}^+=\left\{A,D,C,E\right\}$, $P$ inchangé
- $\left\{B,D\right\}^+=\left\{B,D\right\}$, $P$ inchangé.
- L’algorithme se termine avec $P=\left\{AB\to D\right\}$

Exemples (suite)

${\mathcal{A}}=\left\{A,B,C,D,E\right\}$ et $\Sigma=\left\{A\to C, BC\to D, AD\to E\right\}$

$\pi_{ABCE}(\Sigma)$ ?
- $A^+=AC \quad B^+=B \quad C^+=C \quad E^+=E$
- $AB^+=ABCDE \quad AC^+=AC \quad AE^+=AEC$
- $BC^+=BCD \quad BE^+=BE \quad CE^+=CE$
- $ABC^+=ABCDE \quad ABE^+=ABECD$
- $BCE^+=BCED \quad ACE^+=ACE$
- L’algorithme se termine avec $P=\left\{A\to C, AB \to CE, AE\to C, ABC\to E, ABE\to C\right\}$.
- Simplification : $\pi_{ABCE}(\Sigma)$ équivaut à $\left\{A\to C, AB\to E\right\}$ qui est minimal.

Décomposition sans perte de DF

Définition

Soient $\mathcal{A}$ un schéma, $\Sigma$ un ensemble de DF sur $\mathcal{A}$ et $\left\{ \mathcal{A}_1,\dots, \mathcal{A}_k\right\}$ une décomposition de $\mathcal{A}$.

La décomposition $\left\{\mathcal{A}_1,\dots, \mathcal{A}_k\right\}$ préserve $\Sigma \quad \quad$ ssi $\quad \quad{\displaystyle \bigcup_{i=1}^k \pi_{\mathcal{A}_i}(\Sigma)}$ est équivalent à $\Sigma$.

On dit que la décomposition est sans perte de dépendance (SPD).

Propriété immédiate

Si $\Sigma$ est équivalent à un ensemble de dépendances fonctionnelles locales, la décomposition est SPD.

Vérification qu’une DF est préservée

Propriété

$X\to Y$ est préservée ssi la fermeture de $X$ par rapport à ${\displaystyle \bigcup_{i=1}^k \pi_{\mathcal{A}_i}(\Sigma)}$ contient $Y$.

Notations

Dans la suite du cours, on note :

$\Sigma_{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k}={\displaystyle \bigcup_{i=1}^k \pi_{\mathcal{A}_i}(\Sigma)}$
$X^+_{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k}$ la fermeture de $X$ par rapport à $\Sigma_{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k}$.

Algorithme de vérification

L’algorithme retourne $X^+_{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k}$

fonction fermeture_decomposition({A1,...,Ak}, Σ, X)
   Z := X
   go := True
   while go
      W := Z
      for i ∈ {1, ..., k}
         # pour chaque Ai, ajout des attributs de Ai déterminés par W ∩ Ai
         W := W ⋃ ((W ∩ Ai)⁺ ∩ Ai)
      # si W a augmenté, m.a.j. de Z et on reboucle, sinon arrêt
      if W ≠ Z
         Z := W
      else
         go := False
   return Z

Avertissement

Si au cours du calcul, on obtient que $Y\subset Z$, on peut conclure immédiatement que $X\to Y$ est préservée.
L’intérêt de cet algorithme est qu’il n’est pas nécessaire de calculer les DF locales (qui est un calcul très coûteux).

Vérification qu’une décomposition est SPD

Propriété

Une décomposition $\left\{\mathcal{A}_1,\dots ,\mathcal{A}_k\right\}$ est sans perte de DF (SPD) si

Pour tout $X\to Y \in \Sigma$, $\quad X^+_{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k}$ contient $Y$.

Exemple I

$\mathcal{A}=\left\{A,B,C,D\right\}$,
$\mathcal{A}_1=\left\{A,B\right\}$, $\mathcal{A}_2=\left\{B,C\right\}$, $\mathcal{A}_3=\left\{C,D\right\}$
$\Sigma=\left\{A\to B, B\to C, C\to D, D\to A\right\}$
Est-ce que la décomposition $\left\{\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\mathcal{A}_3\right\}$ préserve $\Sigma$ ?

Les DF locales $A\to B$, $B\to C$, $C\to D$ sont locales donc conservées.
Est-ce que les DF locales impliquent $D\to A$ ?

Vérification en appliquant l’algorithme de calcul de $\{D\}^+_{\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\mathcal{A}_3}$.

Initialisation $Z := \{D\}$

$(\{D\}\cap\{CD\})^+ \cap \{CD\}=\{D\}^+ \cap\{CD\}=\{DABC\} \cap \{CD\}=\{CD\}$, $Z := \{CD\}$
$(\{DC\}\cap \{BC\})^+ \cap \{BC\}=\{C\}^+ \cap \{BC\}=\{CDAB\}\cap \{BC\}=\{BC\}$, $Z := \{BCD\}$
$(\{DCB\}\cap \{AB\})^+ \cap \{AB\}=\{B\}^+ \cap \{AB\}=\{BCDA\} \cap \{AB\}$, $Z := \{ABCD\}$
$\{DCBA\}$ contient $A$ donc $D\to A$ est préservée.

Exemple I suite

$\mathcal{A}=\left\{A,B,C,D\right\}$,
$\mathcal{A}_1=\left\{A,B\right\}$, $\mathcal{A}_2=\left\{B,C\right\}$, $\mathcal{A}_3=\left\{C,D\right\}$

On pouvait voir aussi que

$\Sigma=\left\{A\to B, B\to C, C\to D, D\to A\right\}$ est équivalent à l’ensemble de DF $\Sigma' =\left\{A\to B, B\to A, B\to C, C\to B, C\to D, D\to C\right\}$ car la fermeture de toute partie non vide de $\mathcal{A}$ par $\Sigma'$ est $\mathcal{A}$ comme pour $\Sigma$ (chaque attribut est une clé).
les DF de $\Sigma'$ sont locales donc préservées, la décomposition préserve $\Sigma'$ donc $\Sigma$.

Exemple II

$\mathcal{A}= \{\verb!Ville, CP, Rue, Numero!\}$
$\Sigma= \{\verb!CP → Ville ; Ville Rue Numero → CP!\}$
$\mathcal{A}_1=\{\verb!Ville, CP!\}$ et $\mathcal{A}_2=\{\verb!Rue, Numero, CP!\}$
Est-ce que la décomposition $\{\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \}$ préserve $\Sigma$ ?

$\verb!CP → Ville!$ est préservée car elle est locale à $\mathcal{A}_1$

Est-ce que $\verb!Ville Rue Numero → CP!$ est préservée par $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2$ ?

on calcule la fermeture $\{\verb!Ville, Rue, Numero!\}^+_{\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2}$.

$\verb!Z! := \{\verb!Ville, Rue, Numero!\}$

$(\verb!Z !\cap \{\verb!Ville, CP!\})^+ \cap \{\verb!Ville, CP!\} = \{\verb!Ville!\}$, rien à ajouter.
$\verb!(Z !\cap \{\verb!Rue, Numero, CP!\})^+ \cap \{\verb!Rue, Numero, CP!\} = \{\verb!Rue, Numero!\}$, rien à ajouter.

$\{\verb!Ville, Rue, Numero!\}^+_{\mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2}= \{\verb!Ville, Rue, Numero!\}\quad$ donc $\verb!Ville Rue Numero → CP!$ n’est pas préservée.

Décomposition sans perte d’information

Idée : Si on remplace le schéma

(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pprix, Qte)

par les trois schémas

Vendeur(V#, Vnom, Vville)
Produit(P#, Pnom, Pprix)
Livraison(V#, P#, Qte)

alors au lieu de stocker une relation R(V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pprix, Qte), on stockera ses projections:

\[\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(\texttt{R}) \qquad \pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pprix}}(\texttt{R}) \qquad \pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(\texttt{R})\]

Peut-on retrouver R par jointure à partir de ces trois projections ?

Décomposition sans perte d’information (SPI)

Définition : décomposition SPI

Soit $\mathcal{A}$ un schéma de relation et $\Sigma$ un ensemble de DF sur $\mathcal{A}$.

Une décomposition $\mathcal{D} = \{\mathcal{A}_1,..., \mathcal{A}_n\}$ est sans perte d’information par rapport à $\Sigma$ si pour toute relation $R$ de schéma $\mathcal{A}$ satisfaisant $\Sigma$,

$R = R_1 \bowtie R_2 \bowtie...\bowtie R_n \quad$
où les $\bowtie$ sont des jointures naturelles.
et où, pour tout $i$, $R_i$ est la projection de $R$ sur le sous-schéma $\mathcal{A}_i$.

Note

La jointure est l’opération inverse de la décomposition, on recompose l’information par jointure.
La décomposition doit garantir que pour toute relation R, ses projections contiennent la même information que R au sens que l’on doit pouvoir reconstruire R par jointure à partir de ses projections.

La propriété d’être sans perte d’information est liée à l’ensemble de DF considéré

Exemple de décomposition SPD

On décompose une relation $\verb!R!(\texttt{V\#, Vnom, Vville, P\#, Pnom, Pprix, Qte})$ vérifiant

$\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$ en 3 relations

$\verb!Vendeur!=\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(R)$
$\verb!Produit!=\pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pprix}}(R)$
$\verb!Livraison!=\pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(R)$

Peut-on affirmer que

\[\verb!R! = \verb!Vendeur! \bowtie \verb!Livraison! \bowtie \verb!Produit! \quad ?\]

On a envie de dire mais pourquoi et comment le prouver ?

Exemple de décomposition avec perte d’information

$\mathcal{A}=\{A,B,C\} \quad \Sigma=\{AB\rightarrow C\}$

Décomposition $\mathcal{A}_1=\{A,B\} \quad \mathcal{A}_2=\{B,C\}$

Soit $R$ la relation

A	B	C
1	2	3
4	2	5

$\pi_{AB}(R)=$

A	B
1	2
4	2

$\pi_{BC}(R)=$

B	C
2	3
2	5

$\pi_{AB}(R) \bowtie \pi_{BC}(R)=$

A	B	C
1	2	3
4	2	5
1	2	5
4	2	3

Algorithme de poursuite

Algorithme de poursuite (chase algorithm)

Le risque d’une mauvaise décomposition est que les jointures créent des tuples qui n’éxistaient pas dans la relation initiale (voir l’exemple précédent de décomposition avec perte d’information).
Pour le savoir, un algorithme simple existe appelé algorithme de poursuite

Algorithme de poursuite : exemple

On décompose une relation $\verb!R!(\texttt{V\#, Vnom, Vville, P\#, Pnom, Pprix, Qte})$ vérifiant $\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

en trois relations :

$\verb!Vendeur!=\pi_{\texttt{V\#,Vnom,Vville}}(R)$
$\verb!Produit!=\pi_{\texttt{P\#,Pnom,Pprix}}(R)$
$\verb!Livraison!=\pi_{\texttt{V\#,P\#,Qte}}(R)$

Par définition des projections et des jointures, on sait que : $\texttt{R} \subset \verb!Vendeur! \bowtie \verb!Livraison! \bowtie \verb!Produit!$

On veut prouver que : $\verb!Vendeur! \bowtie \verb!Livraison! \bowtie \verb!Produit! \subset \texttt{R}$

Algorithme de poursuite : exemple

Soit $t$ un tuple dans la jointure

V#	Vnom	Vville	P#	Pnom	Pprix	Qte
$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$

On veut prouver que $t \in R$.

Par définition des projections :

$(a, b, c)\in \texttt{Vendeur}$ donc il existe $e_1, f_1, g_1$ tels que $(a, b, c, d_1, e_1, f_1, g_1) \in \texttt{R}$
$(d,e,f) \in \texttt{Produit}$ donc il existe $a_2, b_2, c_2, g_2$ tels que $(a_2, b_2, c_2, d, e, f, g_2)\in \texttt{R}$
$(a,d,g)\in \texttt{Livraison}$ donc il existe $b_3,c_3,e_3,f_3$ tels que $(a,b_3,c_3,d,e_3,f_3,g)\in \texttt{R}$
On peut le représenter comme ceci :

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	$a$	$b$	$c$	$d_1$	$e_1$	$f_1$	$g_1$
Produit	$a_2$	$b_2$	$c_2$	$d$	$e$	$f$	$g_2$
Livraison	$a$	$b_3$	$c_3$	$d$	$e_3$	$f_3$	$g$

Algorithme de poursuite : exemple

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	$a$	$b$	$c$	$d_1$	$e_1$	$f_1$	$g_1$
Produit	$a_2$	$b_2$	$c_2$	$d$	$e$	$f$	$g_2$
Livraison	$a$	$b_3$	$c_3$	$d$	$e_3$	$f_3$	$g$

V# → Vnom, Vville donc $b_3=b$ et $c_3=c$

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	$a$	$b$	$c$	$d_1$	$e_1$	$f_1$	$g_1$
Produit	$a_2$	$b_2$	$c_2$	$d$	$e$	$f$	$g_2$
Livraison	$a$	$b$	$c$	$d$	$e_3$	$f_3$	$g$

Algorithme de poursuite : exemple (suite)

P#→ Pnom, Pprix donc $e_3=e$ et $f_3=f$

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	$a$	$b$	$c$	$d_1$	$e_1$	$f_1$	$g_1$
Produit	$a_2$	$b_2$	$c_2$	$d$	$e$	$f$	$g_2$
Livraison	$a$	$b$	$c$	$d$	$e$	$f$	$g$

On a obtenu une ligne égale au tuple $t=(a,b,c,d,e,f,g)$ donc $t\in \texttt{R}$ (tous les tuples qui se projettent sur $a,f,g$ coïncident avec $t$ du fait des clés des trois relations).

On en déduit que la décomposition est Sans Perte d’Information (SPI).

Algorithme de poursuite : cas général

Entrée : un schéma $\mathcal{A}$, une décomposition $\{\mathcal{A}_1,...,\mathcal{A}_k\}$ et un ensemble $\Sigma$ de DF
Pour chaque attribut de $\mathcal{A}$, choisir un symbole (par exemple $a$, $b$, $c$,…). La correspondance doit être injective.
Construire un tableau dont les colonnes sont les attributs de $\mathcal{A}$

Le tableau a une ligne pour chaque $\mathcal{A}_i$

Sur la ligne associée à $\mathcal{A}_i$, les positions correspondant à $\mathcal{A}_i$ sont remplies avec les symboles choisis.

Les autres positions sont remplies avec les symboles indicés par $i$

Répéter tant que possible : s’il existe une DF $X\rightarrow Y$ dans $\Sigma$ et deux lignes du tableau en accord sur $X$, égaliser ces deux lignes sur $Y$
Sortie : Si on obtient une ligne sans valeur indicée, la décomposition est sans perte d’information, sinon il y a perte d’information

Algorithme de poursuite : exemple 2

Considérons l’exemple : $\mathcal{A}=\{A,B,C,D\}$ avec $\mathcal{A}_1=\{A,B\}$, $\mathcal{A}_2=\{B,C\}$ et $\mathcal{A}_3=\{C,D\}$

Soit $\Sigma=\{{C}\rightarrow{D}; {B}\rightarrow{A}\}$.

Soit $t=(a,b,c,d)$. Soit $t_1,t_2,t_3$ les tuples de $R$ suivants:

	A	B	C	D
$t_1$	`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
$t_2$	$a_2$	`b`	`c`	$d_2$
$t_3$	$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

On a pris $c_1,d_1, a_2,d_2, a_3,b_3$ comme valeurs variables et a,b,c,d comme constantes

Algorithme de poursuite - exemple 2

	A	B	C	D
$t_1$	`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
$t_2$	$a_2$	`b`	`c`	$d_2$
$t_3$	$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

Par la dépendance ${B}\rightarrow{A}$, il vient :

	A	B	C	D
$t_1$	`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
$t_2$	`a`	`b`	`c`	$d_2$
$t_3$	$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

Algorithme de poursuite : exemple 2

Par la dépendance ${C}\rightarrow{D}$, il vient :

	A	B	C	D
$t_1$	`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
$t_2$	`a`	`b`	`c`	`d`
$t_3$	$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

On a bien fait apparaître $t$ qui appartient donc à $R$.

Algorithme de poursuite - exemple 3

Considérons toujours l’exemple : $\mathcal{A}=\{A,B,C,D\}$ avec

$\mathcal{A}_1=\{A,B\}$, $\mathcal{A}_2=\{B,C\}$ et $\mathcal{A}_3=\{C,D\}$

Mais avec $\Sigma=\{{B}\rightarrow{AD}\}$.

A	B	C	D
`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
$a_2$	`b`	`c`	$d_2$
$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

Dans ce cas, en utilisant la seule DF ${B}\rightarrow{AD}$, on obtient $a_2=a$ et $d_1=d_2$ :

A	B	C	D
`a`	`b`	$c_1$	$d_1$
`a`	`b`	`c`	$d_1$
$a_3$	$b_3$	`c`	`d`

On ne peut pas aller plus loin, la décomposition est avec perte d’information.

Forme Normale 3 (FN3)

Objectif

Note

Construire une décomposition :

Sans Perte d’Information (SPI)
Sans perte de Dépendances Fonctionnelles
Dont les éléments sont en FN3 par rapports aux dépendances projetées

Forme normale 1 (FN1)

Définition : forme normale 1 (FN1)

Un schéma relationnel $\mathcal{A}$ est en forme normale 1 (FN1) si tous les attributs ont des valeurs atomiques (pas de liste de valeurs).

Proposition

D’après la théorie de l’algèbre relationnel, toute relation est en FN1.

Forme normale 2 (FN2)

Idée

Un schéma relationnel est en deuxième forme normale (FN2) si tout attribut non identifiant (extérieur à une clé) ne dépend pas d’une partie d’une clé mais de toute la clé.

La FN2 assure seulement une non-redondance partielle de l’information.

Définition : forme normale 2 (FN2)

Un schéma relationnel $\mathcal{A}$ est en forme normale 2 (FN2) relativement à un ensemble de DF $\Sigma$ ssi

pour toute clé $X$ et tout $Y$ non inclus dans $X$, il n’existe pas $X'$ strictement inclus dans $X$ tel que $X' \to Y$.

Méthode pour vérifier la FN2

Pour toute clé $X$, vérifier que la fermeture de tout sous-ensemble strict de $X$ est inclus dans $X$.

Exemple

Schéma Employé=(#projet, #employé, nom_employé, fonction)

On suppose qu’on a les dépendances :

#projet, #employé → fonction
#employé → nom_employé

Le schéma est-il en FN2 ?

Le schéma Employé n’est pas en FN2 à cause de la DF #employé → nom_employé.

On peut illustrer le problème de redondance par ces exemples de tuples :

`#projet`	`#employé`	`nom_employé`	`fonction`
p1	e1	n1	f1
p2	e1	n1	f2
p3	e1	n1	f3

On constate bien une redondance pour la projection sur (#employé, nom_employé).

Forme normale 3 (FN3)

Idée

Un schéma relationnel est en troisième forme normale (FN3) si il est en FN2 et si tous les attributs non identifiants (extérieur à une clé) dépendent directement d’une clé et pas par transitivité via des attributs qui ne sont pas dans une clé , autrement dit il est en FN3 s’il n’existe pas de dépendance fonctionnelle entre deux attributs non clés.

La FN3 assure une non-redondance partielle acceptable de l’information.

Définition : forme normale 3 (FN3)

Un schéma relationnel $\mathcal{A}$ est en forme normale 3 (FN3) relativement à un ensemble de DF $\Sigma$ ssi pour toute dépendance non triviale $X \to Y$ de $\Sigma$, on a

le membre gauche $X$ est une super-clé
ou le membre droit $Y$ fait partie d’une clé.

Exemple 1

$\mathcal{A_1}=(\texttt{V\#, Vnom, Vville}) \quad \mathcal{A_2}=(\texttt{P\#, Pnom, Pprix}) \quad \mathcal{A_3}=(\texttt{V\#, P\#, Qte})$

$\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

La décomposition est-elle

en FN3 ?
SPD ?
SPI ?

- $\pi_{\mathcal{A_1}}(\Sigma)$ équivaut à $\{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\}$ qui vérifie la FN3,
- $\pi_{\mathcal{A_2}}(\Sigma)$ équivaut à $\{\texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\}$ qui vérifie la FN3,
- $\pi_{\mathcal{A_3}}(\Sigma)$ équivaut à $\{\texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte}\}$ qui vérifie la FN3.
- La décomposition est donc FN3.
Elle est SPD car les DF de $\Sigma$ sont locales à au moins un sous-schéma donc elles sont préservées.
Elle est SPI (montré précédemment).

Exemple 2

Schéma Employé=(#employé, nom_employé, #service, nom_service)

On suppose qu’on a les dépendances :

#employé → nom_employé, #service
#service → nom_service

Le schéma est-il en FN2, FN3 ?

Le schéma Employé a pour clé #employé qui est réduite à un attribut. Il est donc en FN2.

Il n’est pas en FN3 à cause de la DF #service → nom_service.

On peut illustrer les redondances par ces exemples de tuples :

`#employé`	`nom_employé`	`#service`	`nom_service`
e1	n1	s1	ns1
e2	n2	s1	ns1
e3	n3	s1	ns1

On constate bien une redondance pour la projection sur (#service, nom_service).

Exemple 3

$\mathcal{A}= (\verb!A, B, C, D, E!)$ et $\Sigma=\{\verb!A → C ; BC → D ; AD → E!\}$

Quelles sont les clés ?
Le schéma est-il en FN2 ? en FN3 ?

Clé unique $\verb!AB!$.
- $\verb!A!$ et $\verb!B!$ ne sont jamais à droite d’une dépendance donc toute clé doit contenir $\{AB\}$.
- $\{AB\}^+ = \mathcal{A}$, $\{A\}^+ = \mathcal{AC}$, $\{B\}^+ = \mathcal{B}$.
Ni FN2, ni FN3 car :
- $A \to C$ ne vérifie pas la règle FN2.
- Aucune des DF de $\Sigma$ ne vérifie la régle FN3.

Algorithme de décomposition en FN3 SPI et SPD

Algorithme de construction d’une FN3

fonction decomposition_FN3(A, Σ)
   D :=  ∅                      # initialisation de la décomposition D
   Σ' := min_cover(Σ)           # calcul d'une couverture irredondante de Σ
   
   for each distinct left member X of a DF in Σ'
      # Y = {attributs à droite d'une DF de Σ' ayant X comme déterminant}
      Y := {y | X → y ∈ Σ'}
      D := D ⋃ {X ⋃ Y}            # ajouter le schéma X ⋃ Y de clé X
   # la décomposition doit comprendre tous les attributs
   B := {attributes in A that do not occur in D}
   D := D ⋃ {B}                            # ajouter le schéma B à D
   # dernière partie pour assurer une décomposition SPI
   If no schemas includes a key of A, add a schema with a key of A

   return D

Note

Dernière partie de l’algorithme : pour avoir une décomposition SPI, il faut s’assurer qu’il y a au-moins une clé de $\mathcal{A}$ dans une des relations de décomposition. Si ce n’est pas le cas, il faut ajouter une relation contenant une clé de $\mathcal{A}$.

Propriétés de l’algorithme

Proposition

L’algorithme termine en un nombre fini d’itérations.

La décomposition produite par l’algorithme est :

en FN3,
sans perte d’informations,
sans perte de dépendances fonctionnelles.

Exemple 1

Schéma $\verb! Employé!=(\verb!#projet, #employé, nom_employé, fonction!)$

$\Sigma = \{\verb! #projet #employé → fonction ; #employé → nom_employé! \}$

Le schéma $\verb!Employé!$ n’est pas en FN2 à cause de la DF $\verb!#employé → nom_employé!$.

Appliquons l’algorithme de construction d’une décomposition FN3.

$\Sigma$ est irredondante.
Pour le déterminant $\verb! #employé!$ : $\ Y = \{\verb!nom_employé!\}$, $\ \mathcal{A_1}= (\verb!#employé!) \cup Y = (\verb!#employé!, \verb!nom_employé!)$,
Pour le déterminant $\verb! #projet!, \verb!#employé!$ : $\ Y = \{\verb!fonction!\}$, $\ \mathcal{A_2}= (\verb!#projet!, \verb!#employé!) \cup Y = (\verb!#projet!, \verb!#employé!, \verb!fonction!)$,
$\ D=\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}\right\}$, tous les attributs initiaux sont présents dans la décomposition. $B = \emptyset$. On n’ajoute rien.
Le schéma initial a pour clé $(\verb!#projet!, \verb!#employé!)$ qui est présente dans $\mathcal{A_2}$ donc on n’ajoute rien à la décomposition.
$\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}\right\}$ est une décomposition de $\verb!Employé!$ en FN3 SPI et SPD.

Exemple 2

Schéma $\verb! Employé!=(\verb!#employé, nom_employé, #service, nom_service!)$

$\Sigma = \{ \verb!#employé → nom_employé ; #employé → #service ; #service → nom_service! \}$

Le schéma $\verb!Employé!$ a pour clé $\verb!#employé!$, il est donc en FN2 mais pas en FN3 à cause de la DF $\verb!#service → nom_service!$.

Appliquons l’algorithme de construction d’une décomposition FN3.

$\Sigma$ est irredondante.
Pour le déterminant $\verb! #employé!$ : $\ Y = \{\verb!nom_employé, #service!\}$, $\ \mathcal{A_1}= (\verb!#employé!) \cup Y = (\verb!#employé, nom_employé, #service!)$.
Pour le déterminant $\verb! #service!$ : $\ Y = \{\verb!nom_service!\}$, $\ \mathcal{A_2}= (\verb!#service!) \cup Y = (\verb!#service!, \verb!nom_service!)$.
$D=\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}\right\}$. Tous les attributs initiaux sont présents dans la décomposition. $B = \emptyset$. On n’ajoute rien.
Le schéma initial a pour clé $(\verb!#employé!)$ qui est présente dans $\mathcal{A_1}$ donc on n’ajoute rien à la décomposition.
$\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}\right\}$ est une décomposition de $\verb!Employé!$ en FN3 SPI et SPD.

Exemple 3

$\mathcal{A}=(\texttt{V\#, Vnom, Vville, P\#, Pnom, Pprix, Qte})$

$\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

Appliquer l’algorithme de décomposition à ce schéma relativement à $\Sigma$.

$\Sigma$ a pour couverture irredondante $\Sigma' = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom}, \ \texttt{V\#} \to \texttt{Vville},\ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom}, \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pprix},\ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

Pour le déterminant $\texttt{V\#}$ : $\quad Y = \{\texttt{Vnom, Vville}\}$, $\quad \mathcal{A_1}= (\texttt{V\#}) \cup Y = (\texttt{V\#, Vnom, Vville})$,
Pour le déterminant $\texttt{P\#}$ : $\quad Y = \{\texttt{Pnom, Pprix}\}$, $\quad \mathcal{A_2}= (\texttt{P\#}) \cup Y = (\texttt{P\#, Pnom, Pprix})$,
Pour le déterminant $\texttt{V\# P\#}$ : $\quad Y = \{\texttt{Qte}\}$. $\quad \mathcal{A_3}= (\texttt{V\# P\#}) \cup Y = (\texttt{V\# P\#, Qte})$,
$D=\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}, \mathcal{A_3}\right\}$. Tous les attributs initiaux sont présents dans la décomposition. $B = \emptyset$. On n’ajoute rien.
Le schéma initial a une clé unique $\verb!V# P#!$. Elle est déjà incluse dans un des schémas présents donc on n’ajoute rien à la décomposition.

On obtient la même décomposition que celle déjà étudiée. $\mathcal{A_1}=(\texttt{V\#, Vnom, Vville}), \quad \mathcal{A_2}=(\texttt{P\#, Pnom, Pprix}), \quad \mathcal{A_3}=(\texttt{V\#, P\#, Qte})$

Exemple 4

$\mathcal{A}= (\verb!A, B, C, D, E!)$ et $\Sigma =\{\verb!A → C ; BC → D ; AD → E!\}$

Appliquer l’algorithme de décomposition à ce schéma relativement à $\Sigma$.

En utilisant l’algorithme de calcul d’une couverture irredondante :
- La première phase de sélection donne $\{A → C, BC → D, AD → E\}$,
- La deuxième phase d’élimination d’attribut ne change rien.
- $\Sigma$ est sous forme irredondante.

Pour le déterminant $\texttt{A}$ : $\quad Y = \{\texttt{C}\}$, $\quad \mathcal{A_1}= (\texttt{A,C})$,
Pour le déterminant $\texttt{BC}$ : $\quad Y = \{\texttt{D}\}$, $\quad \mathcal{A_2}= (\texttt{B,C,D})$,
Pour le déterminant $\texttt{AD}$ : $\quad Y = \{\texttt{E}\}$, $\quad \mathcal{A_3}= (\texttt{A,D,E})$,
$D=\left\{\mathcal{A_1}, \mathcal{A_2}, \mathcal{A_3}\right\}$. Tous les attributs initiaux sont présents dans la décomposition. On n’ajoute rien.
On a vu précédemment que le schéma initial a une clé unique $\verb!AB!$. Elle n’est incluse dans aucun des schémas présents donc on ajoute le schéma $\mathcal{A_4}=(\texttt{A,B})$ à la décomposition pour assurer une décomposition SPI.
On obtient la décomposition $\{(\texttt{A,C}), (\texttt{A,B,C,D}), (\texttt{A,D,E}), (\texttt{A,B})\}$.

Forme normale de Boyce-Codd (FNBC)

Définition

Un schéma $\mathcal{A}$ est en FNBC par rapport à un ensemble de dépendances fonctionnelles $\Sigma$ sur $\mathcal{A}$ ssi

pour toute DF non triviale $X\rightarrow Y$ impliquée par $\Sigma$, $X$ est une sur-clé (ou super-clé).

Vérifier la FNBC

Proposition

Soit $\Sigma'$ un ensemble de DF équivalent à $\Sigma$.

$(\mathcal{A},\Sigma)$ est en FNBC si et seulement si pour toute DF non triviale de $\Sigma'$, le membre de gauche est une sur-clé (super-clef).

Méthode

Il suffit de vérifier la règle FNBC pour un ensemble de DF équivalent à $\Sigma$.

FNBC : exemple 1

$\mathcal{A}=(\texttt{V\#, Vnom, Vville, P\#, Pnom, Pprix, Qte})$

$\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

$\mathcal{A}$ n’est pas en FNBC par rapport $\Sigma$. En effet ni $\texttt{V\#}$ ni $\texttt{P\#}$ ne sont des sur-clés.

Mais la décomposition $\mathcal{A_1}=(\texttt{V\#, Vnom, Vville}) \quad \mathcal{A_2}=(\texttt{P\#, Pnom, Pprix}) \quad \mathcal{A_3}=(\texttt{V\#, P\#, Qte})$ est en FNBC.

FNBC : exemple 2

Schéma $\verb!Projet! = (\verb!#projet, #employé, localisation, fonction!)$

$\Sigma = \{\verb! #projet #employé! \to \verb!localisation fonction ! ; \verb! localisation! \to \verb!#projet ! \}$

Le schéma $\verb!Projet!$ est en FN3 mais n’est pas en FNBC.

D’après les DF, il subsiste des redondances que l’on peut illustrer par les tuples :

#projet	#employé	localisation	fonction
p1	e1	l1	f1
p1	e2	l1	f2
p1	e3	l1	f3

Pourquoi deux notions de forme normale ?

Proposition

Si un schéma $\mathcal{A}$ est en forme normale Boyce-Codd (FNBC) relativement à un ensemble de DF $\Sigma$, alors $\mathcal{A}$ est en forme normale 3 (FN3) relativement à $\Sigma$.

Niveaux de décomposition d’une relation

Note

Les formes normales correspondent à des niveaux d’élimination des redondances.

La FNBC élimine toutes les redondances dues aux DF mais toutes les contraintes d’une relation ne se modélisent pas par des DF !

Algorithme de décomposition FNBC SPI

Méthode de décomposition FNBC SPI

Méthode

Soit un schéma relationnel $\mathcal{A}$ respectant les DF $\Sigma$.

D est initialisée à {A},
Soit B une relation de D qui n’est pas FNBC à cause d’une DF non triviale X → a telle que X n’est pas clé de B.
- On définit Y comme l’ensemble des attributs de B\X déterminés par X.
- On décompose alors B en :
  - B1 contenant les attributs de X et de Y (clé X).
  - B2 contenant tous les attributs de B sauf ceux de Y (clé(s) inchangée(s)).
On boucle jusqu’à ce que toutes les relations soient FNBC.

SPI

Chaque étape est SPI car on laisse la clé X de B1 dans B2.

Algorithme

fonction decomposition_FNBC(A,Σ)

   #Initialisation de la décomposition
   D :=  {A}

   while (∃ B ∈ D, B not BCNF because of Σ ⊨ X → a)
      # Y = {attributs de B\X déterminés par X}
      Y := X⁺ ⋂ (B\X)    # X → a non triviale donc Y non vide

      # remplacer le schéma B par les schémas X⋃Y et B\Y
      D := (D\{B}) ⋃ { X⋃Y, B\Y }
   
return D

Propriétés de l’algorithme

Proposition

L’algorithme termine,
Les éléments de la décomposition finale sont en FNBC,
La décomposition est Sans Perte d’Information (SPI).

Preuves

La terminaison est triviale : à chaque itération le nombre de parties de $\mathcal{A}$ dans $D$ augmente de $1$ et ce nombre ne peut dépasser $\# \mathcal{A}$
La seconde propriété est triviale aussi
La propriété SPI se vérifie avec l’algorithme de poursuite (et son analyse): chaque itération de la boucle While est SPI.

Exemple 1

$\mathcal{A}=(\verb!V#, Vnom, Vville, P#, Pnom, Pprix, Qte!)$

$\Sigma = \{\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}\ , \ \texttt{P\#} \to \texttt{Pnom Pprix}\ , \ \texttt{V\# P\#} \to \texttt{Qte} \}$

$\texttt{V\#} \to \texttt{Vnom Vville}$ ne respecte pas la FNBC car $\texttt{V\#}$ n’est pas une sur-clé.

On a calculé une décomposition FN3 et on a vu qu’elle était FNBC. Que donne l’algorithme de décomposition FNBC ?

$\verb!V#! \to \texttt{Vnom Vville}$ ne respecte pas la FNBC.
- l’ensemble des attributs de $\mathcal{A}\setminus\{\verb!V#!\}$ déterminés par $\verb!V#!$ est $Y=\{\verb!Vnom, Vville!\}$
- on décompose $\mathcal{A}$ en $\mathcal{A_1}=(\verb!V#, Vnom, Vville!)$ et $\mathcal{B_1}=\mathcal{A}\setminus Y=(\verb!V#, P#, Pnom, Pprix, Qte!)$.

$\mathcal{B_1}$ a pour clé $\verb!(V#, P#)!$ donc $\verb!P#! \to \texttt{Pnom Pprix}$ ne respecte pas la FNBC pour $\mathcal{B_1}$.
- l’ensemble des attributs de $\mathcal{B_1}\setminus\{\verb!P#!\}$ déterminés par $\verb!P#!$ est $Y=\{\verb!Pnom, Pprix!\}$
- on décompose $\mathcal{B_1}$ en $\mathcal{A_2}=(\verb!P#, Pnom, Pprix!)$ et $\mathcal{A_3}=\mathcal{B_1}\setminus Y=(\verb!V#, P#, Qte!)$.

- $\mathcal{A_1}=(\verb!V#, Vnom, Vville!)$ a pour clé $\verb!V#!$ et est FNBC.
- $\mathcal{A_2}=(\verb!P#, Pnom, Pprix!)$ a pour clé $\verb!P#!$ et est FNBC.
- $\mathcal{A_3}=(\verb!V#, P#, Qte!)$ a pour clé $\verb!(V#, P#)!$ et est FNBC.

On a obtenue la même décomposition que celle déjà connue. On sait qu’elle est SPI et SPD.

Exemple 2

Schéma $\verb!Projet! = (\verb!#projet, #employé, localisation, fonction!)$

$\Sigma = \{\verb! #projet #employé! \to \verb!localisation fonction ! , \verb! localisation! \to \verb!#projet! \}$

Le schéma $\verb!Projet!$ est en FN3 mais n’est pas en FNBC. Que donne l’algorithme de décomposition FNBC ?

$\verb! localisation! \to \verb!#projet!$ ne respecte pas la FNBC.
- l’ensemble des attributs de $\verb!Projet!\setminus\{\verb!localisation!\}$ déterminés par $\verb!localisation!$ est $Y=\{\verb!#projet!\}$
- on décompose $\verb!Projet!$ en $\mathcal{A_1}=(\verb!localisation, #projet!)$ et $\mathcal{A_2}=\verb!Projet!\setminus Y=(\verb!#employé, localisation, fonction!)$.

- $\mathcal{A_1}=(\verb!localisation, #projet!)$ a pour clé $\verb!localisation!$, toutes les DF respectent la FNBC.
- $\mathcal{A_2}=(\verb!#employé, localisation, fonction!)$ a pour clé $\verb!(#employé,localisation)!$, toutes les DF respectent la FNBC.

On peut vérifier que la décomposition est SPI avec l’algorithme de poursuite. Mais elle n’est pas SPD.

La dépendance $\verb! #projet #employé! \to \verb!localisation fonction !$ est perdue car l’algorithme de calcul de la fermeture par rapport aux DF projetées donne : $\{\verb!#projet, #employé!\}^+_{\mathcal{A_1},\mathcal{A_2}} = \{\verb!#projet, #employé!\}$.

Exemple 3

$\mathcal{A}= (\verb!A, B, C, D, E!)$ et $\Sigma=\{\verb!A → C ; BC → D ; AD → E!\}$

Quelles sont les clés ?
Le schéma est-il en FNBC ?
Si non, proposer une décomposition SPI en FNBC. Est-elle sans perte de DF?

On a précédemment déterminer que l’unique clé est $\verb!AB!$. Aucune des DF ne respecte la FNBC.

On a calculé aussi une décomposition FN3 SPI et SPD :

\[\{(\texttt{A,C}), (\texttt{B,C,D}), (\texttt{A,D,E}), (\texttt{AB})\}\]

Est-elle FNBC ?

Oui elle est FNBC car

$(\texttt{A,C})$ a pour clé $\verb!A!$ donc vérifie la FNBC.
$(\texttt{B,C,D})$ a pour clé $\verb!BC!$ donc vérifie la FNBC.
$(\texttt{A,D,E})$ a pour clé $\verb!AD!$ donc vérifie la FNBC.
$(\texttt{A,B})$ a pour clé $\verb!AB!$ donc vérifie la FNBC.

Exemple 3 (suite)

Comparons avec la décomposition obtenue par l’algorithme de décomposition FNBC.

Le schéma initial $\mathcal{A}= (\verb!A, B, C, D, E!)$ de clé $\verb!AB!$, et $\Sigma=\{\verb!A → C ; BC → D ; AD → E!\}$

$\verb!A → C!$ ne respecte pas la FNBC.
- l’ensemble des attributs de $\mathcal{A}\setminus\{\verb!A!\}$ déterminés par $\{\verb!A!\}$ est $Y=\{\verb!C!\}$
- on décompose $\mathcal{A}$ en $\mathcal{A_1}=(\verb!A,C!)$ et $\mathcal{B_1}=\mathcal{A}\setminus Y=(\verb!A,B,D,E!)$.

$\mathcal{B_1}$ a pour clé $\verb!AB!$ donc $\verb!BC → D!$ ne respecte pas la FNBC pour $\mathcal{B_1}$.
- l’ensemble des attributs de $\mathcal{B_1}\setminus\{\verb!B,C!\}$ déterminés par $\{\verb!B,C!\}$ est $Y=\{\verb!D!\}$
- on décompose $\mathcal{B_1}$ en $\mathcal{A_2}=(\verb!B,C,D!)$ et $\mathcal{A_3}=\mathcal{B_1}\setminus Y=(\verb!A,B,E!)$.

- $\mathcal{A_1}=(\verb!A,C!)$ a pour clé $\verb!A!$ et est FNBC.
- $\mathcal{A_2}=(\verb!B,C,D!)$ a pour clé $\verb!BC!$ et est FNBC.
- $\mathcal{A_3}=(\verb!A,B,E!)$ a pour clé $\verb!AB!$ et est FNBC.

Nous n’obtenons pas la même décomposition qu’avec l’algorithme de décomposition FN3.

On peut vérifier que la décomposition est SPI (exercice ?) mais elle n’est pas SPD.

La DF $\verb!AD → E!$ n’est pas préservée ! On le montre par le calcul de la fermeture de $\verb!{A,D}!$ par rapport au DF projetées, on obtient $\verb!{A,D}!^+_{\mathcal{A_1},\mathcal{A_2},\mathcal{A_3}} = \verb!{A,D}!$

Décomposition FNBC et pertes de DF

Limites de la décomposition FNBC

Note

Il existe des couples schéma/Ensemble de DFs ($\mathcal{A}, \Sigma$) pour lesquels toute décomposition FNBC entraine une perte de dépendances fonctionnelles

$\mathcal{A} =$ {Ville, Rue, Numéro, #Bureau_vote}

Σ = { Ville, Nom, Rue → #Bureau_vote, #Bureau_vote → Ville }

Deux clés Ville, Nom, Rue et #Bureau_vote, Nom, Rue

#Bureau_vote → Ville ne satisfait pas le critère FNBC

L’algorithme de décomposition en FNBC conduit à la décomposition {#Bureau_vote,Ville} et {#Bureau_vote, Nom, Rue}

La DF Ville, Nom, Rue → #Bureau_vote n’est pas préservée

La décomposition préserve l’information (SPI) mais pas les dépendances fonctionnelles.

Limites de la décomposition FNBC (suite)

À noter

Pour cet exemple, on peut vérifier qu’aucune décomposition FNBC de $\mathcal{A}$ ne préserve toutes les dépendances fonctionnelles.

Fin

Décompositions, Pertes de DF, Pertes d’informations, Décompositions FN3, Décompositions FNBC.

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b_3\)	\(c_3\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b_3\)	\(c_3\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e_3\)	\(f_3\)	\(g\)

	`V#`	`Vnom`	`Vville`	`P#`	`Pnom`	`Pprix`	`Qte`
Vendeur	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d_1\)	\(e_1\)	\(f_1\)	\(g_1\)
Produit	\(a_2\)	\(b_2\)	\(c_2\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g_2\)
Livraison	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(d\)	\(e\)	\(f\)	\(g\)

	A	B	C	D
\(t_1\)	`a`	`b`	\(c_1\)	\(d_1\)
\(t_2\)	\(a_2\)	`b`	`c`	\(d_2\)
\(t_3\)	\(a_3\)	\(b_3\)	`c`	`d`

Normalisation II : Décompositions SPD, SPI, FN3 et FNBC

Décomposition d’une relation

Idée

Décomposition

Exemple de décomposition I

Perte de dépendance fonctionnelle

Projection d’un ensemble de DF

Exemple

Fermeture et projection de DF

Algorithme de calcul de \(\pi_{{\mathcal{A}}_1}(\Sigma)\)

Exemples

Exemples (suite)

Décomposition sans perte de DF

Vérification qu’une DF est préservée

Algorithme de vérification

Vérification qu’une décomposition est SPD

Exemple I

Exemple I suite

Exemple II

Décomposition sans perte d’information

Décomposition sans perte d’information

Décomposition sans perte d’information (SPI)

Exemple de décomposition SPD

Exemple de décomposition avec perte d’information

Algorithme de poursuite

Algorithme de poursuite (chase algorithm)

Algorithme de poursuite : exemple

Algorithme de poursuite : exemple

Algorithme de poursuite : exemple

Algorithme de poursuite : exemple (suite)

Algorithme de poursuite : cas général

Algorithme de poursuite : exemple 2

Algorithme de poursuite - exemple 2

Algorithme de poursuite : exemple 2

Algorithme de poursuite - exemple 3

Forme Normale 3 (FN3)

Objectif

Forme normale 1 (FN1)

Forme normale 2 (FN2)

Exemple

Forme normale 3 (FN3)

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Algorithme de décomposition en FN3 SPI et SPD

Algorithme de construction d’une FN3

Propriétés de l’algorithme

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Forme normale de Boyce-Codd (FNBC)

Forme normale de Boyce-Codd (FNBC)

Vérifier la FNBC

FNBC : exemple 1

FNBC : exemple 2

Pourquoi deux notions de forme normale ?

Niveaux de décomposition d’une relation

Algorithme de décomposition FNBC SPI

Méthode de décomposition FNBC SPI

Algorithme

Propriétés de l’algorithme

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 3 (suite)

Décomposition FNBC et pertes de DF

Limites de la décomposition FNBC

Limites de la décomposition FNBC (suite)

Fin